Conceito de funções
INTRODUÇÃO
- Queremos estabelecer um exemplo motivacional para o estudo de funções, e nada melhor que estudar a relação existente entre as grandezas espaço e tempo. Queremos concluir que o espaço percorrido pode ser obtido como função do tempo gasto por um atleta, conforme descrito abaixo.
- Exemplo: Numa esteira ergométrica, um atleta treina com uma velocidade constante para uma maratona. Seu treinador observa, a cada 10 minutos, o espaço percorrido e anota em uma tabela seu desempenho. Observe:
| Instante (minutos) | Distância (m) |
| 10 | 1 500 |
| 20 | 3 000 |
| 30 | 4 500 |
| 40 | 6 000 |
| 50 | 7 500 |
| 60 | 9 000 |
A cada instante (x), em minutos, corresponde a uma única distância (y), em metros. Dizemos então que a distância percorrida pelo atleta encontra-se em função do instante de tempo gasto em seu treinamento. Como a cada 10 minutos são percorridos 1500 metros; a cada minuto, 150 metros são percorridos, assim a fórmula que relaciona espaço e tempo pode ser descrita por y = 150x.
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma função f de A em B é uma relação que associa a cada elemento x∈A , um único elemento y∈B . Assim, uma função liga um elemento do domínio (conjunto A de valores de entrada) com um segundo conjunto, o contradomínio (conjunto B de valores de saída) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente a um, e somente um, elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela f a algum x do domínio é o conjunto imagem, denotado por Im(f).
Vejamos um exemplo através da representação por diagramas, onde podemos observar a definição descrita:
Representação por diagramas:
Cada elemento do conjunto A (domínio da função) está relacionado a um, e somente um, elemento do conjunto B (contradomínio da função). Todos os elementos do conjunto B que receberam flechas de A são imagens dos elementos de A, ou seja, a imagem de -3 é 9, imagem de -2 é 4, imagem de -1 é 1 e imagem de 0 é 0. Podemos perceber, nesse caso, que a imagem de cada elemento do conjunto A equivale ao quadrado do seu valor. Logo, podemos concluir que a lei de formação dessa função pode ser definida por f(x) = x².
Dom (f) = {-3,-2,-1,0}
CD (f) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
IM (f) = {0,1,4,9}
CD (f) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
IM (f) = {0,1,4,9}
Exemplo: Quais dos seguintes diagramas representam uma função de A em B?
a)
b)
c)
d)
De acordo com a definição de função apresentada anteriormente, os gráficos que representam funções são as letras: a e c. Consequentemente, os que não representam são as letras b e d, pois no item b o elemento 0 do conjunto A não se relacionou com nenhum elemento do conjunto B, contrariando a definição de função. Já na letra D, o elemento 4 do conjunto A se conectou com dois elementos do conjunto B, o que também não pode.
Observação: o que podemos concluir, caros alunos? Que cada elemento do conjunto A deve mandar uma e somente uma flecha para o conjunto B para a relação se tornar uma função. Jamais um elemento do conjunto A pode mandar 2 flechas ou deixar de mandar.
Exemplo: vamos entender melhor o que significa o domínio D e a imagem Im observando o gráfico abaixo:
De acordo com que falamos acima, quando queremos saber sobre o domínio, devemos olhar para o eixo x e, quando falamos em imagem, devemos olhar pata o eixo y. Desse modo todos os valores utilizados sobre o eixo x representam o maior domínio dessa função, ou seja, D=[0,4] e todos ou valores utilizados sobre o eixo y representam a imagem, o que podemos concluir Im=[0,2]
Exemplo: vamos determinar o maior domínio das funções abaixo:
1º) f(x) = 3x
Sabemos que o denominador de uma fração tem que ser diferente de zero, pois não existe divisão por zero. Nesse caso, temos que ter x≠ 0 para que 2x seja possível em IR
Lodo o domínio são os reais não nulos.
2º) f(x) = x−4−−−−−√
Sabemos que no conjunto dos números reais não existe raiz quadrada de número negativo.
Portanto, temos que ter x−4≥0 para que seja possível em IR
Daí, x−4≥0⟺x≥4
Logo, D(f) = [4, + ∞[
3º) f(x) = 1−x√x−2√
Nesse caso, devemos ter:
(I) 7−x≥0⟺−x≥−7⟺x≤7
(II)x−2>0⟺x>2
(II)
Ou seja, x∈ ]2, 7]. Para cada x∈ ]2, 7], f(x) existe e é único.
Logo, D(f) = ]2, 7].
Vamos observar agora mais um exemplo cotidiano onde a função se faz presente:
Uma barraca de praia, em Salvador, vende picolés ao preço de R$ 1,75 a unidade. Para não precisar fazer contas a todo momento, o proprietário da barraca montou a seguinte tabela:
| Número de picolés | Preço (R$) |
| 1 | 1,75 |
| 2 | 3,50 |
| 3 | 5,25 |
| 4 | 7,00 |
| 5 | 8,75 |
| 6 | 10,50 |
| 7 | 12,25 |
| 8 | 14,00 |
Note que o número de picolés é o domínio da função, e o preço correspondente à quantidade de picolés, o contradomínio. Logo, podemos observar que:
Dom (f) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}
CD (f) = {1,75; 3,50; 5,25; 7. 8,75; 10,5; 12,25; 14}
Im (f) = {1,75; 3,50; 5,25; 7. 8,75; 10,5; 12,25; 14}
Como todos os elementos do contradomínio são imagens, podemos concluir que o conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio.
Sendo assim, é possível observar facilmente a lei de formação dessa função. O total (y) a ser pago será R$ 1,75 multiplicado pela quantidade (x) de picolés. Logo, podemos concluir que y = 1,75.x.
Observação:
Seja f : R → R uma função. Tal representação pode ser descrita por D → CD onde D são os elementos do domínio e CD elementos do contradomínio. Sendo I o conjunto imagem, podemos dizer que I é subconjunto de CD, ou seja, I⊂ CD.
Classificação de uma função:
As funções podem ser classificadas em injetora ou injetiva, sobrejetora ou sobrejetiva e bijetora ou bijetiva. Uma função é:
- Injetora ou injetiva quando, para quaisquer elementos x1 ≠ x2 , temos f(x1 ) ≠ f(x2 );
- Exemplo:
- Sobrejetora ou sobrejetiva quando o conjunto imagem for igual ao conjunto do contradomínio, ou seja, possuem os mesmos elementos;
Exemplo:
Funções (Foto: Colégio Qi)
- Bijetora ou bijetiva quando ela for injetora e sobrejetora simultaneamente.
Exemplo:
Funções (Foto: Colégio Qi)
Pares ordenados
Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numa certa ordem.
Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:
Assim:
Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.
-
Observações
-
De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos:
. Exemplos
2. Dois pares ordenados (x, y) e (r, s) são iguais somente se x = r e y = s.
Representação gráfica de um Par Ordenado
Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano.
Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.
Coordenadas Cartesianas
Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplos:
A (3, 5) ==> 3 e 5 são as coordenadas do ponto A.
Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. Assim:
Plano Cartesiano
Representamos um par ordenado em um plano cartesiano.
Esse plano é formado por duas retas, x e y,perpendiculares entre si.
A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixox).
A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).
O ponto comum dessas duas retas é denominado
origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).
Localização de um Ponto
Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência prática:
-
O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas.
-
O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas.
-
No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto procurado. Exemplo:
-
Localize o ponto (4, 3).
Produto Cartesiano
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}.
Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B.
Assim , obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}
Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, e é indicado por:
Logo:
Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano A x B o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) onde
Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.
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Observações
De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos: . Exemplos
. Exemplos
Representamos um par ordenado em um plano cartesiano.
Esse plano é formado por duas retas, x e y,perpendiculares entre si.
A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixox).
A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).
O ponto comum dessas duas retas é denominado
origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).
O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas.
O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas.
No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto procurado. Exemplo:
Localize o ponto (4, 3).
Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B.
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Representação Gráfica de Funções:
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Atividades:
1. A população de uma cidade, P, em milhões de habitantes, é uma função de t, o número de anos desde 1950, de modo que P = f(t). Explique o significado da afirmação f(35) = 12 em termos da população da cidade.
2. Considere a função f(x) = 2x – 2.
Determine:
a) f(-1)
b) f(1)
3. No instante t = 0 um mergulhador salta de um trampolim a 35 pés de altura. A função posição que nos fornece a altura h do mergulhador em cada instante é dada por h(t) = 15t + 5, onde t é dado em segundos.
a) Após quantos segundos o mergulhador atinge a água?
b) A função acima é bijetiva? Justifique.
4. Um táxi começa uma corrida com o taxímetro marcando R$ 4,00. Cada quilômetro rodado custa R$1,50. Se ao final de uma corrida, o passageiro pagou R$ 37,00 , a quantidade de quilômetros percorridos foi:
a)26
b)11
c)33
d)22
e)32
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